Teorema binomial

Dalam matamatika bidang aljabar elementer, teorema binomial adalah rumus penting nang mambariakan ekspansi atawa pangkat dari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}$

Gasan setiap bilangan riil atawa kompleks x dan y, serta barataan bilangan bulat taknegatif n. Koefisien binomial nang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsi faktorial n!:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}$

Gasan contoh, gasan 2 ≤ n ≤ 5:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}$

Lihati bahwa:

1. Pangkat dari ${\displaystyle x}$ bagarak turun dimana pada suku nang pertama dimulai lawan n (${\displaystyle x^{n}}$) wan pada suku terakhir sama dengan 0 (${\displaystyle x^{0}=1}$).
2. Gasan pangkat dari ${\displaystyle y}$ berlaku sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengan 0 (${\displaystyle y^{0}=1}$) wan pada suku terakhir sama dengan n (${\displaystyle y^{n}}$).

Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,}$

${\displaystyle (x-y)^{4}=x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4}\,}$